32

نمبر تھیوری. Number theory ریاضی کی ملکہ

نمبر تھیوری. Number theory

ریاضی کی ملکہ

یہ ریاضی کی وہ شاخ ہے جو انسان کے تجسس کے ساتھ بڑھتی ہوئی معرض وجود میں آتی رہی،کہ یہ صحیح اعداد کی خصوصیات کا مطالعہ کرواتی ہے.
چونکہ منفی نمبرز مثبت نمبروں کے جیسا رویہ ہی دکھاتے ہیں تو صرف مثبت نمبروں کو ہی ڈسکس کرنا کافی ہوتا ہے. مثبت اعداد جن کو ہم گنتی کے اعداد بھی کہتے ہیں انسانی ذہن میں ریاضی کے متعلق پہلا خیال تھے. تو یہ کہا جاسکتا ہے کہ انسانی تہذیب شروع ہوتے ہی انسان نمبر تھیوری میں دلچسپی لینا شروع ہوچکا تھا.
بیسویں صدی کے وسط تک ریاضی کی purest branch خیال کیا جاتا تھا جس کا حقیقی زندگی میں بلاواسطہ کوئی استعمال نہیں تھا. جب ڈیجیٹل کمپیوٹرز معرض وجود میں آئے تو انکشاف ہوا کہ نمبر تھیوری حقیقی زندگی کے متعلق بہت سے مسائل کے جواب دے سکتی تھی.
اب تو نمنر تھیوری کو مختلف کلاسز میں تقسیم کیا جا چکا ہے
1)ایلیمنٹری نمبر تھیوری Elementary N.T
2)الجبری نمبر تھیوری Algebraic N.T
3)اینالیٹک نمبر تھیوری Analytic N.T
4)جیومیٹرک نمبر تھیوری Geometric N.T
5)پروبابیلیسٹک نمبر تھیوری Probabilistic N.T

جو ٹاپک ہم ڈسکس کرنے جا رہے وہ ایلیمنٹری کا ہے

Divisibility And Prime Number

جیسا کہ ہم جانتے ہیں کہ دو کوئی بھی صحیح اعداد کی جمع،تفریق اور ضرب کا نتیجہ ہمیشہ ایک صحیح عدد کی شکل میں نکلتا ہے.لیکن تقسیم میں یہ ہمیشہ نہیں ہوتا.
مثال کے طور پہ
147 کو اگر 10 پہ تقسیم کریں تو 14.7 جواب آتا ہے جو کہ صحیح عدد نہیں. لیکن جب 147 کو 7 پہ تقسیم کریں تو جواب 21 آتا ہے جو کہ صحیح عدد ہے. تو اس کو ہم یوں لکھیں گے
10 does not divide 147
And
7 divides 147
نمبر تھیوری میں
7 | 147
اور ناٹ ڈیویزبل کے لیے | پہ ایک ترچھی لائن لگادیتے ہیں.(کی بورڈ میں موجود نہیں)
اگر a اور b کوئی دو صحیح اعداد ہوں اور
a|b
تو ضرور ایک صحیح عدد d جواب آئے گا کہ
b=da
ہوگا.
مثلا
7 | 147
تو 21 ایک صحیح عدد ہے جس کے لیے ہم لکھ سکتے ہیں
(7)(21)=147

اس لیے ہم a کو مقسوم علیہ divisor اور b ,d کا multiple ہے.
امید ہے divisibility سمجھ آگئی ہونی.

اب آتے ہیں مفرد اعداد prime numbers کی طرف…
یہ 1 سے بڑے مثبت صحیح اعداد ہیں جن کو 1 تقسیم کرتا ہے یا وہ عدد خود. یا جس کے دو ہی مقسوم علیہ divisor ہوں.
پہلے چند مفرد اعداد
2،3،5،7،9،11،13،17،19،
ہیں.
1 سے 100 تک کے درمیان 25 مفرد اعداد موجود ہیں.

ہم Sifting method کے ذریعے یہ آسانی سے نکال سکتے ہیں.
پہلے دو پہ تقسیم ہونے والے تمام اعداد سوائے 2 کے(4،6،8…) کو نکال دیں
پھر تین پہ تقسیم ہونے والے تمام اعداد سوائے 3 کے(…9،15،21،) نکال دیں.

اور یہ کام 7 تک کرتے رہیں.. باقی جو بھی بچیں گے وہ مفرد اعداد ہونگے.

11 کے لیے اس لیے نہیں کرسکتے کہ 11 کو 11 سے ضرب دیں 121، جو کہ 100 سے بڑا ہے ،حاصل ہوتا ہے.
یہ طریقہ 200BC کے آس پاس دریافت کیا گیا.
اگر 100 تک کے دریافت کرنے ہوں تو اس جذر المربع لیں اور جو جواب آئے وہاں تک کے مفرد اعداد کے جزو ضربی کو نکال دیں… باقی جو بچیں گے وہ مفرد اعداد ہوں گے.

اب جو مفرد اعداد نہیں ہے،اس کو مفرد اعداد کے حاصل ضرب کے طور پہ لکھا جا سکتا ہے
اس تھیورم کو فنڈامینٹل تھیورم کہتے ہیں..
The fundamental theorem of Arithmetic

An integer greater than 2 is a prime or can be written as a unique product of prime numbers.

یا تو ایک نمبر مفرد عدد ہے یا پھر وہ مفرد اعداد کے حاصل ضرب کے طور پہ لکھا جا سکتا ہے.اور وہ مفرد اعداد یونیک ہونگے..

مثال کے طور پہ

600=2.2.2.3.5.5=2³.3.5²=5².3.2³=3.2³.5²
تین بار 2،دوبار 5 اور ایک بار 3 صرف 600 کے لیے مخصوص ہے. اس کے علاوہ کسی اور کے لیے اتنے ہی اور یہی مفرد اعداد کبھی استعمال نہیں ہونگے.

اس لیے مفرد اعداد کو صحیح اعداد کے بلڈنگ بلاکس کہتے ہیں… اور یہی اعداد اصل میں صحیح اعداد کے جنریٹر ہیں. اور صحیح اعداد پہ ساری نمبر تھیوری ہے…

اس لیے آج میں نے کہا تھا کہ نمبر تھیوری کی خوبصورتی اور ملکہ یہ مفرد اعداد ہی ہیں. اور گاس انکل نے کہا کہ ساری سائنس کی ملکہ ریاضی اور ریاضی کی ملکہ نمبر تھیوری ہے..

یہ ایک وسیع مضمون ہے اور میں نے ہلکا سا تعارف کروانے کی کوشش کی ہے…

محمد علی رضا

معاون Britannica

اس مضمون پر اپنی رائے کا اظہار کریں

اپنا تبصرہ بھیجیں